问题标题：
已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数（1）求k的值（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围（3）讨
更新时间：2024-04-28 07:56:51
问题描述：
已知函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数
（1）求k的值
（2）若函数g（x）=λf（x）+sinx是区间[-1，1]上的减函数，且g（x）≤t2+λt+1在x∈[-1，1]上恒成立，求t的取值范围
（3）讨论关于x的方程
胡毅亭回答：
（1）因为函数f（x）=ln（ex+k）（k为常数）是实数集R上的奇函数，
所以f（-0）=-f（0）即f（0）=0，
则ln（e0+k）=0解得k=0，
显然k=0时，f（x）=x是实数集R上的奇函数；
（2）由（1）得f（x）=x所以g（x）=λx+sinx，g'（x）=λ+cosx，
因为g（x）在[-1，1]上单调递减，∴g'（x）=λ+cosx≤0 在[-1，1]上恒成立，
∴λ≤-1，g（x）max=g（-1）=-λ-sin1，
只需-λ-sin1≤t2+λt+1（λ≤-1），
∴（t+1）λ+t2+sin1+1≥0（λ≤-1）恒成立，
令h（λ）=（t+1）λ+t2+sin1+1（λ≤-1）
则
t+1≤0h(−1)＝−t−1+t
