问题标题:
【2013创冠金卷理科数学高考模拟信息卷120题已知动圆c过定点(-1/4,0),且与直线x=1/4相切,圆心c的轨迹为E且E与直线Y=K(X+1)相交于A,B两点.1.求E2.在曲线E上是否存在与K值无关的点M且使MA】
更新时间:2024-03-29 23:03:15
问题描述:

2013创冠金卷理科数学高考模拟信息卷120题

已知动圆c过定点(-1/4,0),且与直线x=1/4相切,圆心c的轨迹为E且E与直线Y=K(X+1)相交于A,B两点.1.求E2.在曲线E上是否存在与K值无关的点M且使MA⊥MB?

林凌回答:
  ①设点C的坐标为(x,y).点C到x=1/4的距离等于到x=1/4的距离.所以   |x-1/4|=√〔(x+1/4)²+y²〕   两边平方化简得曲线E的方程y²=-x   ②设曲线E上的定点M的坐标为(x0,y0),则y0²=-x0,∴x1=-y1²,M(-y0²,y0)   由y²=-x得x=-y²,代入y=k(x+1)整理得ky²+y-k=0   设A(x1,y1),B(x2,y2)则x1=-y1²,x2=-y2².∴A(-y1²,y1),B(-y2²,y2)   由根与系数的关系得y1+y2=-1/k,y1*y2=-1   MA的斜率为(y0-y1)/(-y0²+y1²)=-1/(y0+y1)   同理MB的斜率为-1/(y0+y2)   如果MA⊥MB,则[-1/(y0+y1)]*[-1/(y0+y2)]=-1   化简整理得y0²+(y1+y2)y0+y1*y2=-1   ∴y0²-1/k*y0-1=-1   y0²-1/k*y0=0   ∴y0=0或y0=1/k   当y0=0时,x0=0   存在符合条件的点M,其坐标为(0,0)
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