问题标题：
已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．（Ⅰ）求此椭圆的离心率；（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．
更新时间：2024-04-28 04:34:18
问题描述：
已知直线y=-x+1与椭圆相交于A、B两点，且线段AB的中点在直线l：x-2y=0上．
（Ⅰ）求此椭圆的离心率；
（Ⅱ）若椭圆的右焦点关于直线l的对称点在圆x2+y2=4上，求此椭圆的方程．
陈志红回答：
（Ⅰ）设A、B两点的坐标分别为A（x1，y1），B（x2，y2），
则由得：（a2+b2）x2-2a2x+a2-a2b2=0，
由根与系数的关系，得，
且判别式△=4a2b2（a2+b2-1）＞0，即a2+b2-1＞0（*）；
∴线段AB的中点坐标为（）．
由已知得，
∴a2=2b2=2（a2-c2），∴a2=2c2；故椭圆的离心率为．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知b=c，从而椭圆的右焦点坐标为F（b，0），
设F（b，0）关于直线l：x-2y=0的对称点为（x0，y0），
则且，
解得．
由已知得 x02+y02=4，∴，
∴b2=4，代入（Ⅰ）中（*）满足条件
故所求的椭圆方程为．
